正多面体群の回転軸、位数、彩色パターン数について考察

　前回まではコンピュータの力を使って正多面体をt色以下で塗るパターン数を数えていました。今回は手計算で計算してみようと思います。そのためにはまず回転を表す対称群をうまく列挙するために回転軸について考える必要があります。群の元を回転軸ごとに分けて解析することで、計算がしやすくなります。

回転軸について

回転軸について考えてみたことを書きます。
回転軸を点(a, b)を結ぶ直線で表します（※a, bは正多面体の表面上の点とします）。このときa, bはどのような点か考えると、軸を簡単に探すことができます。(a, b)は

• 頂点である
• 辺上の点である
• 面上の点である

のいずれかになります。もし辺上の点だったとして、辺をx : y (x != y)に分割するような点になることがありえるでしょうか？この辺は360度回転しないと元に戻らないのでこのような点が回転軸上の点となるような群の元は存在しないと考えることができます。

辺の中点であれば、180度回転で元の形と一致するのでこれは軸上の点になりえます。

次に面上の点について考えます。辺のときと同じように考えると、点は面の重心になければいけないと分かります。この面は、360 / n度回転すると元の形に戻ります。（nは正多面体の一面にある頂点数）

最後にaまたはbが頂点のときを考えてみます。頂点は点なので軸上にあれば回転によって形がくずれません。頂点に隣接する面の数をxとすると、360 / x度回転すると、頂点のまわりの面の形が元に戻ります。

さらに、(a, b)を結ぶ直線は多面体の重心を通る必要があります。

よって回転軸は

• (頂点, 多面体の重心)を結ぶ直線
• (辺の中点, 多面体の重心)を結ぶ直線
• (面の重心, 多面体の重心)を結ぶ直線

のいずれかになります。

また、頂点, 辺の中点, 面の重心のいずれかから重心に線を引き延ばしていくと、逆側の頂点, 辺の中点, 面の重心にたどりつきます。

以上を踏まえると回転軸の数は、

(V + E + F) / 2 = (V + (V + F - 2) + F) / 2 = V + F - 1.　　（式1）

と考えられます。

正四面体の対称群について

正四面体を例に考えてみます。対称群の位数、各元のサイクル数（閉じた置換の数。軌道と呼ぶ？？）を数えて、正四面体をt色で塗るパターン数を計算してみます。

Tetrahedron, transparent, slowly turning It's a variation of Cyp's animated polyhedrons, turning by approx. 8 frames/sec instead of 20. Variated by -- Peter Steinberg, March 12 2005

1. 回転軸 = (頂点, 面の中点)の場合
この軸の選び方のパターンは頂点の数 = 4個あります。
回転角度のパターンは、120度、240度、360度の3種類です。
サイクル数は2です。

2. 回転軸 = (辺の中点, 辺の中点)の場合
この軸の選び方のパターンは辺数 / 2 = 3個あります。
回転角度のパターンは、180度、360度の2種類です。
サイクル数は2です。

回転軸の数は7個となり、(式1)と合致しています。

以上より、
Tetrahedral Coloring = (t⁴ + 8t² + 3t²) / 12 = (t⁴ + 11t²) / 12.

ちょっと詳しめに説明すると、t⁴は回転しない場合(identity element)に対する不動点の数です。8t²の部分は上記1.の場合で数えたもので、(1.の軸の選び方) * (回転角のパターン) = 4 * (3-1) = 8が係数部分です。3から1引いているのは360度回転だとidentity elementと同じだからです。t²の2はサイクル数 = 自由に選べる色の数です。
同様に、3t²は上記2.の場合で数えたものです。最後に12で割っていますが、これは群の位数です。

正六面体の対称群について

正六面体についても同様のことをやってみます。

Hexahedron, transparent and slowly turning It's a variation of Cyp's animated polyhedrons, turning by approx. 8 frames/sec instead of 20. Variated by -- Peter Steinberg, March 12 2005

1. 回転軸 = (頂点, 頂点)の場合
この軸の選び方のパターンは頂点の数/2 = 4個あります。
回転角度のパターンは、120度、240度、360度の3種類です。
サイクル数は2です。

2. 回転軸 = (辺の中点, 辺の中点)の場合

この軸の選び方のパターンは辺の数/2 = 6個あります。
回転角度のパターンは、180度、360度の2種類です。
サイクル数は3です。

3. 回転軸 = (面の重心, 面の重心)の場合

この軸の選び方のパターンは面の数/2 = 3個あります。
回転角度のパターンは、90度、180度、270度、360度の4種類です。
サイクル数は180度回転の場合は4、それ以外の場合は3です。

回転軸の数は13個となり、(式1)と合致しています。

t色以下で面を塗った場合のパターン数は、
hexahedral coloring = (t⁶ + 8t² + 6t³ + 3(t⁴ + 2t³)) / 24 = (t⁶ + 3t⁴ + 12t³ + 8t²) / 24
です。

正八面体の対称群について

次、正八面体。

Spinning octahedron, slowly turning by Cyp

1. 回転軸 = (頂点, 頂点)の場合
この軸の選び方のパターンは頂点の数/2 = 3個あります。
回転角度のパターンは、90度、180度、270度、360度の4種類です。
サイクル数は180度回転の場合は4、それ以外の場合は2です。

2. 回転軸 = (辺の中点, 辺の中点)の場合

この軸の選び方のパターンは辺の数/2 = 6個あります。
回転角度のパターンは、180度、360度の2種類です。
サイクル数は4です。

3. 回転軸 = (面の重心, 面の重心)の場合

この軸の選び方のパターンは面の数/2 = 4個あります。
回転角度のパターンは、120度、240度、360度の4種類です。
サイクル数は4です。

回転軸の数は13個となり、(式1)と合致しています。

t色以下で面を塗った場合のパターン数は、
octahedral coloring = (t⁸ + 3(t⁴ + 2t²) + 6t⁴ + 8t⁴) / 24 = (t⁸ + 17t⁴ + 6t²) / 24
です。

正十二面体の対称群について

なんか難しくなった。紙で実物をつくるのが難しいので透視図を見ながら考えてみる。

A rotating Dodecahedron. Animated GIF image. Created by en:User:Cyp and copied from the English Wikipedia.

1. 回転軸 = (頂点, 頂点)の場合
この軸の選び方のパターンは頂点の数/2 = 10個あります。
回転角度のパターンは、120度、240度、360度の3種類です。
サイクル数は12/3 = 4です。

2. 回転軸 = (辺の中点, 辺の中点)の場合

この軸の選び方のパターンは辺の数/2 = 15個あります。
回転角度のパターンは、180度、360度の2種類です。
サイクル数は12/2 = 6です。

3. 回転軸 = (面の重心, 面の重心)の場合

この軸の選び方のパターンは面の数/2 = 6個あります。
回転角度のパターンは、72度、144度、216度、288度、360度の5種類です。
サイクル数は4です。

回転軸の数は31個となり、(式1)と合致しています。

t色以下で面を塗った場合のパターン数は、
dodecahedral coloring = (t¹² + 20t⁴ + 15t⁶ + 24t⁴) / 60 = (t¹² + 15t⁶ + 44t⁴) / 60
です。

正二十面体の対称群について

最後、正二十面体。 紙で作ってクルクルしなくても解けるようになったけど、透視図か回転している映像がないとイメージ沸かないなー。平面グラフに直して二次元で解く方法とかありそうだけどなー。無いのかなー。

A rotating Icosahedron. Animated GIF image. Created by en:User:Cyp and copied from the English Wikipedia. Text from en: Spinning icosahedron, made by me using POV-Ray, see en:image:poly.pov for source.

1. 回転軸 = (頂点, 頂点)の場合
この軸の選び方のパターンは頂点の数/2 = 6個あります。
回転角度のパターンは、72度、144度、216度、288度、360度の5種類です。
サイクル数は4です。

2. 回転軸 = (辺の中点, 辺の中点)の場合

この軸の選び方のパターンは辺の数/2 = 15個あります。
回転角度のパターンは、180度、360度の2種類です。
サイクル数は20/2 = 10です。

3. 回転軸 = (面の重心, 面の重心)の場合

この軸の選び方のパターンは面の数/2 = 10個あります。
回転角度のパターンは、120度、240度、360度の3種類です。
サイクル数は2 + 18/3 = 8です。

回転軸の数は31個となり、(式1)と合致しています。

t色以下で面を塗った場合のパターン数は、
icosahedron coloring = (t²⁰ + 24t⁴ + 15t¹⁰ + 20t⁸) / 60 = (t²⁰ + 15t¹⁰ + 20t⁸ + 24t⁴) / 60
です。

よーし、全部解けた。答え[1]もあってた。

あと(式1)で予想した回転軸の数もすべての正多面体でマッチした。

参考URL

[1] Polyhedron Coloring -- from Wolfram MathWorld