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2013年11月17日日曜日

正多面体の頂点・辺・面の数を数える

 前回正六面体をn色で塗るパターンを計算機を使って数えましたが、どうやら手計算で出来るっぽいです。
すぐには分からないので、とりあえず正多面体(Platonic Solid)について考察することから始めてみました。
  • 正多面体は何種類あるのか?
  • 各正多面体の頂点・辺・面の数はいくつなのか?
を考えてみました。

正多面体はいくつあるか?
一つの頂点に接している面がa個あるとします。このとき
a >= 3  (式1)
となります。a=1, a=2だと立体にならないからです。
正多面体の面が正n角形であるとします。このとき正n角形の内角は180 - 360/n 度になることから、
a (180 - 360/n) < 360  (式2)
という式が満たされなければならないことが分かります。当然nは、
n >= 3  (式3)
です。
式1-3を満たす整数(n, a)のペアは、(3, 3)、(3, 4)、(3, 5)、(4, 3)、(5, 3)となります。

正多面体の頂点・辺・面の数は?
これは、オイラーの多面体定理

V - E + F = 2

を使えば解けます。ここで、V, E, Fはそれぞれ、頂点、辺、面の数です。

面が正n角形で、頂点に接する面の数がaであるような正多面体について考えてみます。
面の数をxとおくと、頂点の数はn*x/a(※1)、辺の数はn*x/2(※2)となります。

(※1)1つの面に頂点はn個。面はx個あるのでn*xとなるが、これだと1つの頂点がa回重複して数えられるのでaで割る。
(※2)1つの面に辺はn個。面はx個あるのでn*xとなるが、これだと1つの辺が2回重複して数えられるので2で割る。

これをオイラーの多面体定理に代入すると、
n*x/a - n*x/2 + x = 2
となります。

これを解くと、
V = 4n / (2n - an + 2a)
E = 2an / (2n - an + 2a)
F = 4a / (2n - an + 2a)

となります。

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