Conjugate transposeとTransposeの展開

　ものすごい基本だと思うけど、証明したことない気がするので証明してみた。

(AB)^T = B^TA^T

高校レベル。一応やってみるか。


一方、


より左辺=右辺。□

(AB)^* = B^*A^*

A^*はAをtransposeして、各要素をconjugate complexにしたもの。

行列に入る前にスカラー量のconjugate complexについていくつか復習しておく。

まずa+bのconjugate complexは、aのconjugate complexとbのconjugate complexの和になる。



次にa*bのconjugate complexは、aのconjugate complexとbのconjugate complexの積になる。



行列の話に戻ります。上で示したスカラー量の場合の性質を使って(AB)のconjugate transposeの(i, j)成分を求めます。



一方、



より左辺=右辺。□