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2013年11月5日火曜日

Conjugate transposeとTransposeの展開

 ものすごい基本だと思うけど、証明したことない気がするので証明してみた。

(AB)T = BTAT
高校レベル。一応やってみるか。


一方、


より左辺=右辺。□

(AB)* = B*A*
A*はAをtransposeして、各要素をconjugate complexにしたもの。

行列に入る前にスカラー量のconjugate complexについていくつか復習しておく。

まずa+bのconjugate complexは、aのconjugate complexとbのconjugate complexの和になる。



次にa*bのconjugate complexは、aのconjugate complexとbのconjugate complexの積になる。



行列の話に戻ります。上で示したスカラー量の場合の性質を使って(AB)のconjugate transposeの(i, j)成分を求めます。



一方、



より左辺=右辺。□

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