行列式、トレースと固有値の関係

　行列式(determinant)、行列のトレース(trace)、固有値(eigenvalue)の関係について証明を読んだ。

determinant(A) = Πλ

行列Aの固有値をλ₁, λ₂, .. , λ_nとする。
これらは特性方程式det (A - λI) の根である。
つまり、
det (A - λI) = (λ₁ - λ) (λ₂ - λ) ... (λ_n - λ) である。
上式にλ = 0を代入すると、
det (A) = λ₁ λ_{2 ...} λ_{n =} Πλ   □

tr(A) = Σλ

まず tr(AB) = tr(BA)が成り立つことを示す。
tr (AB) = Σ_iΣ_j Aij Bjiである。
一方、
tr (BA)
= Σ_iΣ_j Bij Aji
= Σ_iΣ_j Aji Bij  (∵スカラー量の積はcommutative)
= ΣjΣi Aji Bij
= Σ_iΣ_j Aij Bji
となるので、tr(AB) = tr(BA).

ここで行列Aのジョルダン標準形をJとすると、
tr(J)
= tr(V^-1AV)
= tr(V^-1VA)  (∵ tr(AV) = tr(VA))
= tr(A)
である。

ジョルダン標準形の主対角要素にはAの固有値が並んでいるため、
tr(A) = Σλ  □

References

[1] Math 215 HW #9 Solutions (University Of Georgia)
[2] The Theorem that the Sum of the Eigenvalues of a Matrix is Equal to its Trace