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2013年10月27日日曜日

行列式、トレースと固有値の関係

 行列式(determinant)、行列のトレース(trace)、固有値(eigenvalue)の関係について証明を読んだ。

determinant(A) = Πλ
行列Aの固有値をλ1, λ2, .. , λnとする。
これらは特性方程式det (A - λI) の根である。
つまり、
det (A - λI) = (λ1 - λ) (λ2 - λ) ... (λn - λ) である。
上式にλ = 0を代入すると、
det (A) = λλ2 ... λn = Πλ   □

tr(A) = Σλ
まず tr(AB) = tr(BA)が成り立つことを示す。
tr (AB) = ΣiΣj Aij Bjiである。
一方、
tr (BA)
= ΣiΣj Bij Aji
= ΣiΣj Aji Bij  (∵スカラー量の積はcommutative)
= ΣjΣi Aji Bij
= ΣiΣj Aij Bji
となるので、tr(AB) = tr(BA).

ここで行列Aのジョルダン標準形をJとすると、
tr(J)
= tr(V-1AV)
= tr(V-1VA)  (∵ tr(AV) = tr(VA))
= tr(A)
である。

ジョルダン標準形の主対角要素にはAの固有値が並んでいるため、
tr(A) = Σλ  □

References
[1] Math 215 HW #9 Solutions (University Of Georgia)
[2] The Theorem that the Sum of the Eigenvalues of a Matrix is Equal to its Trace

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