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2015年12月6日日曜日

二項分布を正規分布で近似できる条件

 二項分布B(n, p)はnが十分に大きい場合、正規分布N(np, np(1-p))で近似できる。
正規分布のパラメータnp, np(1-p)はそれぞれもとの二項分布の平均、分散である。
”nが十分に大きい”というのはアバウトな表現だが、一般にnp>5, n(1-p)>5を満たせば十分に大きいと考えてよい。

 という話を実際にグラフに書いて確かめてみた。
from math import sqrt

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom, norm

p = 0.1
 
# plot binomial distribution
ns = [10, 30, 50]
colors = ['r', 'g', 'b']
for i in range(len(ns)):
    n = ns[i]
    c = colors[i]
    xs = np.arange(0, 20+1)
    ys = binom.pmf(xs, n, p)
    plt.plot(xs, ys, color=c, label="binom n={sample_n}".format(sample_n=n))
 
#plot normal distribution
n = 50
xs = np.linspace(0.0, 20, 100)
ys = norm.pdf(xs, loc=n*p, scale=sqrt(n*p*(1-p)))
plt.plot(xs, ys, color='k', linestyle='--', label="approximate norm n=50")
  
plt.legend()
plt.show()

下が表示されたグラフ。
この場合、np>5, n(1-p)>5を満たすnは50。n=50になると分布の形がほぼ釣鐘型になっているのが分かる。また、黒の点線で表示した正規分布で近似できている。

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