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2015年12月12日土曜日

いろいろな平均

 以下の3つの平均について概要とどのような場面で使うのかをまとめた。
用途に応じて"平均"を使いわける必要があると再認識した。
  1. 算術平均(arithmetic mean)
  2. 幾何平均(geometric mean)
  3. 調和平均(harmonic mean)
算術平均
一般的に使われる平均。観測 値の和を観測値の個数で割った値。

あるバスケットボールチームのメンバーの身長は188cm、187cm、168cm、184cm、197cmであった。メンバーの平均身長を求めよ。

という場合は、(188 + 187 + 168 + 184 + 197) / 5 = 184.8cmが算術平均となる。

幾何平均
観測値の積を(1/観測値の個数) 乗した値。

ある企業の売り上げは
2013年 1.5倍
2014年 2.0倍
2015年 3.0倍
となった。
2013年から2015年の3年間でこの企業の売上は年平均何倍になったか?

という問題を考える。

算術平均を使うと、年平均(1.5 + 2.0 + 3.0) / 3 = 2.167倍の成長となる。
しかしこれだと、3年で2.166666^3 = 10.176倍となってしまい、実際の3年で9倍とは異なる結果となってしまう。

幾何平均を用いると、年平均(1.5 * 2.0 * 3) ^ (1/3) = 2.080倍の成長となる。
これだと、3年で2.080^3 = 9倍となり、実際の3年で9倍と同じになる。

この例のように、成長率、増加率などを扱う場合は、幾何平均を用いるとよい。

調和平均
観測値の逆数の算術平均の逆数。

あなたは、A地点からB地点までを直線で往復した。
往路は時速30キロで起動した。復路は時速50キロで移動した。
往路と復路を平均すると、時速何キロで移動したことになるか?

A地点からB地点までの距離をL kmとする。
往復での移動距離は2Lとなる。往復に要した時間は、L/30 + L/50である。
よって往復での平均速度は
2L / (L/30 + L/50)
= 2/ (1/30 + 1/ 50)
= 1/ ((1/30 + 1/ 50) / 2)
となり、これは、"30の逆数と50の逆数の算術平均"の逆数である。つまり30と50の調和平均である。

この例のように割合(※今回の場合は速度=距離と時間の割合)の平均を扱う場合は、調和平均を用いるとよい。

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