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2015年3月29日日曜日

Lec 10 | MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007

 多変数微積分学の10回目の講義。second derivative testを使った極値判定について。

Copyright Information
Prof. Denis Auroux, MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007
View the complete course at: http://ocw.mit.edu/18-02F07

講義概要
  1. Second Derivative Test
    1. 特殊例: ax2 + bxy + cy2
    2. 一般例
    3. テイラー展開を使った一般例の説明
ヘッセ行列が出てくると思ったが出てこなかった。二変数の場合の説明なので、それで事足りている。1.の特殊例の話は単なる導入部の例題かと思っていたが、3.の説明に繋がっていた。停留点付近の関数値を二次のテイラー展開近似で表すと、一般の関数でも1.の場合に帰着する。

補足
 ヘッセ行列を使った判定法を忘れていたので、調べてみた。(以下講義の内容ではありません)

  • 停留点xにおいてヘッセ行列の固有値はすべて正 ⇒ xは極小
  • 停留点xにおいてヘッセ行列の固有値はすべて負⇒ xは極大
  • 停留点xでヘッセ行列が正負両方の固有値を持つ ⇒ xは鞍点

これは停留点付近の関数を二次のテイラー展開近似すると分かる。二次のテイラー展開はヘッセ行列の二次形式になる。

ヘッセ行列の固有値がすべて正ということは、ヘッセ行列は正定値行列である。よって停留点からどの方向に移動しても関数値は増加する。よってxは極小。

ヘッセ行列の固有値がすべて負の場合は、停留点からどの方向に移動しても関数値は減少する。よってxは極大。

ヘッセ行列の固有値が正負両方ある場合は、ある固有ベクトル方向に移動すると関数値が増加し、別のある固有ベクトル方向に移動すると関数値が減少する。よってxは鞍点。

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