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2010年8月22日日曜日

泥遊びをする子供の問題

今日は少し趣向を変えて、頭の体操をしようと思う。
以下の問題を考えて欲しい。

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泥遊びをしている子供が3人いる。3人とも顔に泥が付いている。
そこへ大人がやって来て、こう言った。「君たちの中に少なくとも1人は顔に泥が付いてる。早く洗って来なさい。」
さて、この後子供たちはどうするでしょう?
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ちょっと難しいかもしれないので、まずは、単純化のため子供が2人の場合を考えてみよう。(何事も一番単純な例で考えてみるのは良い習慣だと思う。)

A君はB君の顔を見てこう思うだろう。「あ、B君の顔泥付いてる。はははー。」
一方B君はこう思う。「あ、A君の顔に泥付いてる、早く洗い行けよなー。。」
そして、2人とも暫く動かない。。

ここで、A君は気付く。
「あれ、なんでB君顔洗いにいかないんだろう。。僕の顔に泥が付いてなかったら、自分(B君のこと)に泥が付いてるって気付いてすぐに洗いに行くはずだよな。。すぐに行かないってことは、やべっ。。おれの顔にも泥が付いてるんだ!!」
B君も然り。
そこで、2人は一斉に顔の泥を洗いに行く。(ただし、これはA君とB君の頭の回転の速さが同じであることが前提な気が・・・。ま、これは本筋とは違うので突っ込まないで下さい。おそらく僕がきちんとした問題の定義を知らないだけです。。

では、子供が3人の時はどうなる?
A君は、B君とC君の顔を見て「泥が付いてるのはB君とC君だな。もしくは、3人全員の顔に泥が付いてるのかも。」と思う。
しかし、B君とC君が顔を洗いに行かないのを見て不思議に思う。

「もし、僕の顔に泥が付いていないのであれば、B君とC君はお互いの顔を見合ってこう思うはず。B君:『何故、Cのやつ顔洗いに行かないんだ。あ、おれの顔に泥が付いてるからだ。』C君も同様。そして、B君とC君は一斉に顔を洗いに行くはずである。(※)でも、それが起きないってことは、僕の顔に泥が付いていないっていう仮定が正しくないんだ。やべっ、顔洗いに行こ!」

そして、A君は、顔を洗いに行く。B君及びC君も、A君と同じ考察をして顔を洗いに行く。
よって答えは”みんなお互いの顔を暫く見た後、一斉に顔を洗いに行く。”

上記※)の部分からn人の場合の問題が、n-1人の場合の問題に帰着できるのは明らかだろう。
よって、子供の数が4人、5人、6人・・・・に増えた場合も同様に考えることができる。

さてさて、この問題のポイントは3つあると思う。
  1. 「問題の簡素化」 まずは、子供が2人の場合を考えることで展望が開ける。
  2. 「場合分け」それぞれの子供の思考を、「顔に泥が付いているのは、自分以外」か「自分も含めた全員か」の2パターンに場合分けする。
  3. 「一般化」 上記の場合分けにより、サイズnの問題がサイズn-1の問題に帰着出来ることに気付く。
今回取り上げた問題意外でも、上記3つの思考は問題解決においてとても重要なファクターである。こういう頭の体操もたまには良いかも知れない。

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