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2011年11月6日日曜日

素数とは宇宙の創造主が人間に与えた暗号である


"On the trail" by Mr eNil

最近、素数に関するNHKのドキュメンタリーを見た。それそれは、もう、感動でした。宇宙の神秘、数学の美に魅せられました。元ネタは、『魔性の難問 ~リーマン予想・天才たちの闘い~』です。要約を書きます。

 まず、素数とは何か?それ自身と1以外に約数を持たない正の整数のことです。2,3,5,7,11,13....と無限に続きます。この素数列の並びはランダムに見えます。しかし、2人の有名な数学者が素数と自然界においてとても重要な数を結びつけました。レオンハルト・オイラーは、素数と円周率πの間に以下の関係を見出しました。


まったくランダムに見える素数に関する式を無限個掛けあわせると、なんと世界で最も美しい数πがでてくるのです。これによって、オイラーは素数と円や球体が何らかの関係を持っていることを発見しました。

 それから、カール・フリードリヒ・ガウスは、ある正数xまでに現れる素数の数は以下の式で近似できることを発見しました。いわゆる素数定理ってやつですね。


ln()は自然対数で、その底はeです。eは、カタツムリの渦巻き、台風、銀河なのどの自然界で多くみられる螺旋形状と関連のある数字です。

 オイラーとガウスの手によって、ランダムな素数が数のキングおよびクイーンと関連付けられました。そして、素数と自然界には何らかの関係があるのではと考えられるようになったのです。その考えはベルンハント・リーマンによって『何らかの関係がある』から以下のような数学的な問題へと変換されました。

ゼータ関数

の非自明な零点は一直線上に並ぶ。

ゼータ関数が零になるようなx(複素数)を複素平面上にプロットすると、なんとそれが一直線上に並ぶというのです。衝撃的ですね!

 上記のリーマン予想は、現在証明されておらず、N ≓ NP予想などと同様にミレニアム懸賞問題の一つです。今まで、ジョン・ナッシュやアラン・チューリングといった偉大な数学者、暗号科学者たちがその証明を試みましたが、失敗に終わっています。

 時は流れて、違ったアプローチでリーマン予想にチャレンジする数学者が現れました。ヒュー・モンゴメリーは、直線状にならぶ零点の間隔に興味をもちました。そして、たまたま出会った物理学者フリーマン・ダイソンに零点の間隔の式を見せた時に、ダイソンは言いました。「それはすごい!その式はウランなどの原子核のエネルギーレベルの間隔を表す式と同じような形をしている!」
素数と量子力学の世界、まったく異なる分野が一つになった瞬間でした。

 この発見を機に、多くの物理学者がゼータ関数の零点と同じ間隔をもった原子を探すようになりました。すると今度は、非可換幾何学というまったく異なる学問を研究しているアラン・コンヌが閃いたのです。「モンゴメリーの発見を発端として、物理学者たちは素数と関連をもつ空間をさがしている。そして、その空間とは非可換幾何学と完璧に一致する空間である。」当時、非可換幾何学は、量子力学を書き変え森羅万象の原理を説明する究極の法則『万物の理論』の基礎になると期待されていた学問でした。宇宙の創生と素数が繋がっていることを示す非常に興味深い話です!

 ある数学者はいいます。
「非可換幾何学を使って素数の謎がとかれるとき、森羅万象を説明する万物の理論--いわば創造主による宇宙の設計図--も明らかになるだろう。」と。

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