集合族とは

　グラフィカルモデルの勉強をしていたら、集合族という聞きなれない言葉に遭遇したので調べてみた。

集合族とは、集合のあつまりのこと。
特に、ある集合Sの部分集合族とは、Sの部分集合のあつまりのことである。

具体的な例を考えてみる。
集合SをS = {1,2,3,4}と定義する。
以下にSの部分集合族をいくつか列挙してみる。

Sのべき集合は、Sの部分集合族である。
べき集合とは、以下のようにSの考えられる部分集合をすべて列挙したものである。
{{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}

Sのk-元部分集合からなる集合は、Sの部分集合族である。
k-元部分集合とは要素数がkの部分集合のこと。
例えば以下のようなSの1-元部分集合は、Sの部分集合族である。
{{1}, {2}, {3}, {4}}

適当にSから部分集合を選んでそれを要素とする集合を作ると、それはSの部分集合族である。
例えば、{{1,2}, {1,2,3}, {3,4}, {4}}など。